バンジージャンプはオックスフォード生の発明だったらしい

 1979年4月1日、オックスフォード大学のClub for dangerous sportsが、世界で初めてバンジージャンプを行ったらしいです笑

フックの法則なのか、他のelasticityの式なのか分かりませんが、ちゃんと伸びを計算して飛んだとか。dangerous sportsとはいえ、一応理論的に安全だと納得したなら、理論を身をもって証明しようとするスリル、まあ夢はあるな笑

人流に対するコロナ感染者数のdumping効果

全くの思い付きですが、今後人口が都心に集中していくのか、あるいは分散していくのか、ウイルスの感染リスクと関連させて説明出来たら、面白いですよね。

特に、長期的なトレンドを予測するのは難しいだろうが、数式の形によっては、長期的なマクロなトレンドが、局所的な短期のトレンドに一致するようなことも考えられるといいなと思います。

昨年、dynamical systemの単位を取ったばかりなので、その道具を使って、人流のダイナミクスを理論化出来たら面白いというのを簡単に書いておきます。

アイデアは、感染による影響が、物理でいうところのdumpting（スピードを殺す働き）に相当するのではないかということです。つまり、人流過密ー＞感染リスク上昇ー＞感染者数増加ー＞リスク回避のために人流減少。

逆に、人流減少ー＞相対的な感染リスク現象ー＞感染者数減少ー＞人流増加

の流れ。以前のポストで書いた、橋のゆらぎとかと同じようなシステムになります。

以下のように変数を定義する。

x: 地域(region)、t:時間(time)

F(x,t) 地点ｘ、時間ｔにおける人流の量(human traffic)

G(x,t) は人流の変化の速さ（rate of change in human traffic）

A(x,F) 地点ｘにおいて、人流量Fの時に人を寄せ付ける効果（機会の増加）（attraction）

R(x,F) 地点ｘにおいて人流量Fの時に人をしりぞける効果（感染リスク以外）（治安の悪化、物価上昇など）(repulsion)

W(x,F)=A-R (net attraction)

V(x,t)  地点ｘ、時間ｔにおける感染者数(number of infections)

一般的なモデルとして、地政学的な環境を考慮し、XやYの値は、同じ人流Fによっても地域によって変化するものとして考えられると思いますが、以下、議論を簡単にするため、地理的なdependenceは無視します（ｘを固定）。（人流の引斥力は、現在の人流量のみに依存）

コロナ以前（感染症の影響～０）

コロナ後（感染者数によるダンピング効果を導入）

このモデルを、スケールをいじって考えると、やや恣意的ながら、

となるので、長期的なトレンド、および局所的なトレンドで、感染者数やリスクの高さが、人流のダイナミクスに重要なのではないかと。

h discontinuousとかのほうがしっくりくるのかな・・・

最初の一週間

学期が始まって、最初の一週間が過ぎました。

久しぶりの、数学の問題を解き続ける日々、楽しみながらも、想定以上に忙しすぎたために、適当な日記をあげることすらままならず。週末は、少しくつろぎたいので、あえてあまり課題は見ずに過ごしています。

例年なら、課題の解説などを受けるクラスがweek3,4以降から始まることが多いので、提出がweek２か３で、week1はゆとりがあるのですが、今年は、week２に4つ、week3に1つ、（しばらく受けて1つはクラスの出るのはやめる予定ですが）あるために、課題の3つがweek1に提出期限という事態に(^^;

なんとか、終わられたので良かった(笑)来週以降、クラスも入ってくると思うと、時間的にキツそう笑

今学期は、確率系の単位は少ないこともあり、かなり力学系のコース多めで、以下をクラスも含め受講中。時間さえ取れれば、いろいろ他の講義は見たいと思っている。

Stochastic differential equations (確率微分方程式)

Probability on graphs and lattices　（グラフや格子構造での確率論）

Perturbation methods（摂動）

Solid mechanics（固体力学）

Topics in Fluid mechanics（流体力学）

来週末くらいまでに、このうちの一つは、レクチャー視聴のみ、くらいに落とそうとは考えてますが。

指紋の数学

イギリスの数理物理学者、Roger penroseがノーベル賞受賞しましたね。彼は現在、オックスフォード大学の教授です。

さて、受賞内容は、ブラックホールに関する研究のようですが、もっと身近な、内容に関する論文もあります。指紋について。(指紋の研究のことをdermatoglyphicというらしい)

指紋は、基本的におよそ平行な線の組でできていて、たまに

i)半円を描いて折り返すパターン、ii)３つの線が合流するパターン

が存在する。これらの組み合わせで、複雑になっているものもある。

Dを指の数、Rをi)の数、Tをii)の数とすると、ペンローズは、

R-T=D-1

であることを証明した。

つまり、円で折り返すパターンの数から3つの線が交わるパターンの数を引くと、普通の人ならば５－１＝４になると。

ちなみに、この観察自体は、彼の父が論文に発表しているそう笑

上の二つのパターンについて、中心の点を包むような円を考えて、反時計周りに円をなぞっていくとき、円上での指紋の向きを連続に定義すると、この向きがi)の場合は角度が＋１８０度（反時計回りに円の半分）、ii)の場合は―180度（時計回りに円の半分）に変化する。

これをそれぞれ指数（index）＋１、－１と置く。

手の縁に注目すると、普通に指が5本ある人の場合、ギャップが4つ存在して、それぞれで指数がー１となる。

さらに、index theoremから、指紋が定義される境界（手のひらの縁）での指数と、境界内の指数の数が一致する。故に、R-T=D-1が導かれる。

The topology of ridge systems,” Annals of Human Genetics, Vol. 42 (1979), pp. 435–444

夜11時、寒風のなか、短パン立ちこぎでオックスフォードを疾走した話

 寮の厄介な落とし穴、locking myself out(オートロックのせいで部屋に入れなくなる)をやらかしてしまった。

シャワー浴びて、涼むまで短パンをはいていたら、ふと歯磨きに部屋を出たときに鍵を持ち出し忘れ、たまに発動するオートロックに引っかかって立ち往生。

寮の玄関にたむろしていた一団に対応を聞けば、カレッジのメインサイトまで行かねばならないという。

歩けば片道30分だ。一人が見かねて、ジャケットと自転車を貸してくれた。ありがたし。

しかし、脚が長い、座席が高い。いざ乗ると、座ったままでは漕ぐのがやっと。

風は冷たく、夜目も効かぬが、立ちこぎで急ぐ他なし。

新しい鍵を作り、帰路。部屋に戻って、スウェットをはいて、とにかくこの日記を書いている。

学期開始まで1週間

最近、雨の日が続いています。先週の後半は、散歩などもなかなかできないような状況でした。今日は、朝だけ晴れ間がありましたが、15時ごろ雨が来て、キッチンがびちょびちょに・・・

漸く、あと一週間で学期が始まります。

この一週間は、fresher's weekという、新入生向けのイベントが多い週です。今年は、ほとんどのイベントがオンラインで行われるというイレギュラーはあるものの、今日歩いた時には、例年通り、各カレッジの前で子供を連れてきた親たちと思われる車の長蛇の列が出来ていました。（みんな荷物を一気に持ってくるので、大抵最初は車で来ます。普段は混まない道も一部混雑していました）

もともといる学生は、学部によっては、延期された試験が学期の頭にあったり、プロジェクトをやっていて忙しくしているみたいですが、数学科は嵐の前の静けさです。同じカレッジの数学科の人たちも、今週は特に予定なく過ごすみたい笑

いつもは日本人と食べていたラーメンを振舞ったら、喜んでくれました。みんなフォークで食べていた笑

今度は、イギリス料理など作ってくれるそう。コロナのせいで、同じフロアの人としか食事などできないルールになっているので、その中でたまにローテーションしつつ、いろんな料理を楽しめるかもしれません。

私は、とりあえず、今年は部屋が狭いので、家具の配置を変えたりして、理想の状態を探っています笑

↓カレッジのすぐ近くにある公園(university park)

天気がいいと、ほんとに気持ちよくていい場所です。

sensitivity conjecture

1年前のことらしいのですが、

chromeのフィードに関連記事がおすすめとして出てきて面白かったので、ここに共有。

30年間コンピューターサイエンティストが解けなかった問題が、とある数学者による2枚弱の論文によって証明された。というもの。

記事を読むと、どうやらそんなに難しくないらしい。ということで実際に読んでみると

学部の知識で理解できるし、流れもエレガント！これ気持ちいいだろうな、と想像笑

実際の問題というのが、sensitivity conjecture(敏感度予想)というもの。（専門用語の訳は適当）

sensitivityというのは、n次元のインプットに対するブール関数 f:{0,1}^n->{0,1}について、

x\in{0,1}^n, S\subset[n]={1,2,...,n}について、x^SをSに対応するxの要素を０と１で入れ替えたものとすると、

local sensitivity:　s(f,x)=number of i such that f(x)≠f(x^i)

sensitivity:　max{s(f,x): x\in{0,1}^n}

local block sensitivity:　bs(f,x) = maximum number of disjoint blocks B1, B2, ...Bk\subset[n] such that f(x)≠f(x^Bi) for all i

block sensitivity:　max{bs(f,x):x\in{0,1}^n}

Sensitivity conjecture: there exists an absolute constant C such that for every boolean function f, bs(f)<=s(f)^C

これを、

n次元の超立方体グラフQ^nの（2^(n-1)+1）の頂点を持ついかなるサブグラフHも、最大次数がｎの平方根より大きい

ということを証明することで導いている。固有値などの基本的な議論。わずか１ページ半。しびれる。

下参考。

https://arxiv.org/pdf/1907.00847.pdf
https://arxiv.org/pdf/math/0502408.pdf

https://www.ams.org/journals/bull/2020-57-04/S0273-0979-2020-01697-6/S0273-0979-2020-01697-6.pdf

teddy mask

カレッジのマスクが届きました！

意外と厚手です笑

シンボルカラーの深紅にカレッジのロゴが大きくついてます笑

 

無理の構造

 「無理の構造」なる本をprime readingで読んだのでメモ。

人間は、身の回りのものを実際は非対称であるのに対称であると勘違いして生きていて、それが無理の原因になっている。

非対称性の例：

時間経過の非対称性、自分と他人の非対称性、部分と全体の非対称性、見えているものと見えていないものの非対称性。いろいろな不可逆性。

不可逆性といえば、かまいたちの漫才を思い出す(笑)

それぞれの非対称性には、一方向に作用している見えない力・アルゴリズムが存在している。

• 知識は増えることはあっても減ることはない
• 知っていることと知らないこと、無知→既知
• 抽象化の不可逆性、一度抽象化すると固定される
• 人間心理、水は低きに流れる
• 組織は、個性的な人の集まりから個性のない集団へと変わっていく
• 難しく抽象度が高いものから、やさしくわかりやすいものが必要とされる
• ルールや質、増やすことより減らすことにコストがかかる。
• 自分のことは特別だと思うが、他人のことは一般化する。
• 自分の成功は実力で他人は運、失敗は・・・
• 見えていない人には見えている人が見えない
• 夢をかなえられなかった人の視点より、夢をかなえた人の視点が強い

この本の内容も抽象化なわけで、やはり視点が硬直するのだろう。こじつけ、思い込みになるのは注意、あるいは不可避（無理）か。

数学の世界では、対称なものってたくさんあるし大切だが、生活の中には非対称がありふれてるな。感情、意図、知識・経験とか、人間関係は非対称で複雑。

パキスタン カシミール

 去年寮においていった荷物を運ぶために、タクシーを頼んだ。

運転手にこちらの出身を聞かれ、日本と答えた後、相手にも尋ねると、パキスタンのカシミール出身だという。

危ない場所だなと少し身構えたが、彼曰く、天国と呼べるほど美しい場所らしい。

パキスタンという国が、そういう場所が多いのだとか。確かに、簡単に調べると、ぜひとも見てみたい景色がたくさん出てきた。いずれ行きたい。

covidiot

空港からオックスフォードへのバスでの社内アナウンスで、

Don't be "covidiot"なる単語が。

コロナウイルス対策を守らなかったりする人のことを言うみたいです笑

やけに語呂がいい

イギリス留学 最後の1年

約3ヶ月の日本での滞在を経て、またイギリスに、戻ってまいりました。

最近、イギリスと日本を往復することも慣れっこでしたが、今回はコロナ渦でもあり、なにより留学最後の1年の始まりで、すこし緊張しています。

既に卒業した友人からは、オックスフォードが恋しいという話しを聞いたところ。今年は悔いが残らないように生活するつもりです。

少し心配していた出入国ですが、別段新しい手続きがあるわけでもなく、簡単に済みました。

出国のときは、ANAのチェックイン時、職員が余っているのか4人の人が近寄ってきて対応してくれましたが笑

とはいえ、こちらで追加で必要だったのは、イギリス政府が提出を求めているpublic health perssenger locator form（所要時間10分弱）の記入くらいでした。

イギリス入国の時には、検査もなく、eゲートでの入国だったのでサクッと終了。ホントに便利になったものです笑

両空港とも、今までに比べるとかなり空いていました。

下は羽田の写真です。

ロイズの生チョコが免税店に置かれなくなってたのがちょっと残念

飛行機は、日本に帰ったときよりはやや乗客いた気がしますが、窓側の3席占拠出来ました笑

RTBの落札額はなぜsecond priceなのか

RTBのことを調べると、DSPのbitのあと、最も高いbitを提示したDSPが、次に高く提示されたbit+1円（単位は違うかもしれないが）額でimpを購入するとある。

 Auction theoryから、

second price systemでは、自分が認めた価値の価格をそのままbitすることが、オークションの成果を最大限にする戦略であるため、らしい。

証明　(背理法　bi>si, bi<siを否定して、bi=si)

suppose i admits the value si and bids bi>si. write B be the highest bit from others.

there are three possible cases.

1 B>bi, si  in this case i would have done equally with bidding si

2 bi>B>si

3 bi,si>B  in this case i would have done equally with bidding si

in case 2, she will have to pay B>si, which won't happen if she bids si. 

if bi<si, then similarly 1&3 gives the same outcomes, 

2 now becomes si>B>bi. then i cannot buy, even though she could if she bid si.

もしfirst priceならば、１，３の時も状況が変わってきてしまうから、これは成り立たない。（siのままで参加すれば、利益はかならず０になる）

上の証明では、全てのプレイヤーが合理的に自分の利益を最大化することを前提としているが、

現実には、RTBが頻繁に行われていることや、予算の問題などから、必ずしもこの仮定が正しいとは限らない。

そこで、統計的に分布などをもろもろ考えて・・・などといろいろ作戦を練る隙が出てくる(笑)

log normal な現象について

logを取った変数が、正規分布に従うものの分布のことをlog normal Distributionと呼ぶ。

オンライン広告の仕組みである、RTBの落札額の分布を調べたときに現れてきた分布だ。

(参考：http://wnzhang.net/share/rtb-papers/bid-lands.pdf)

wikipediaを見ただけでもいろいろな発見があった。

1 logを取った平均と分散を与えられたときに、エントロピーが最大となるような分布であること。

2　割合に基づく変化を蓄積する過程は、log normalを示すものが多い。(additive in log scale, then CLT (kind of make sense))

3 人間の行動なども、往々にしてこの分布に従う。（オンラインのコメントの長さ、チェスの試合時間etc）(https://arxiv.org/abs/1809.01365)

3に関連して、 "The common feature of these situations, which describe the distribution of a certain

people’s hallmark, is the presence of a desired target to be reached by repeated choices"

(9/17)

PCRの検査回数

https://news.livedoor.com/article/detail/18327790/
武漢では、１０人のブレンド検査をして、陽性の場合にのみ全員検査を行って検査数を稼いでいるとある。

この記事のように、上手く検査すれば、検査回数を節約しつつ、多くの人数の検査が可能かもしれない。
関連して、1２個の金貨から天秤を用いて重さの違う金貨を1枚見つけたり、奴隷に毒見させて1000本のワインから一本の毒入りのワインを特定する有名な論理パズルがあるが、似たような考え方である程度考えられるかもしれない。

上の二つの問題はシャノンの情報理論、エントロピーの考え方から解くことが出来る。
厳密にはエントロピーはlogなどを用いて定義されるが、要は何度のyes/no質問で、ある一つの状態を特定できるかを表すのがエントロピーだ。

ワインの問題は、１０００通りの可能性があるが、奴隷の毒見から、奴隷が｛死ぬ、生きる｝の２通りの情報を得ることが出来る。
故に、１０人の奴隷を用いると２＾１０＝１０２４の情報を得ることが出来るので、最低奴隷が１０人いれば毒入りワインの特定が可能だ。

金貨の問題では１～１２番の金貨のうちの1枚が重いか軽いかで、全てで24通りの可能性がある。（n, b）nは１～１２、ｂは｛重、軽｝の値を取る。
天秤は、①右が重い②左が重い③質量が等しい　の３つのうちの一つの情報を与えることが出来る。
ここから、理論的には３回の試行で３＾３＝２７の情報を得ることが出来るので、この問題の最小の試行回数は３だ。

仮に、精度が１００%と仮定すれば（この時点で間違ってるが）PCR検査の回数もこの組み合わせの議論で節約できるかもしれない。
記事によると１０人分くらいはミックスしてもいいみたいだ。ここに制約があるのでワインの毒見のようにはいかないが。


仮に人口３００００人くらいを基準に考える。
目的　検査陽性者の特定（≠感染者）
とはいえ、一つの検査で｛陽性、陰性｝かつ一人の感染の状態が｛感染、非感染｝なので、単純に考えれば人数分の検査が必要だ。

そこで、今のところ感染者の報告はないことからも、感染者が仮にいても少なそうなので、仮に１０％の人(完全ランダム)が感染していると仮定する。
すると、問題は、１０%の感染者の特定だ。コインの重さの問題と似てきた。
適当な１０人を選んで、1人特定するなら、上記から3回の検査で済む。とはいえ、今回は何人の感染者がこの無作為な10人のグループにいるかは分からないのでもっと複雑。

ちなみに、記事の方法なら、運悪く10％がばらけると人数分の検査が必要になるが、期待値で考えると、適当な10人の組に関して、1度で済む確率が、(9/10)^１０≈0.35、10回必要になるのが残り0.65なので、平均して約7回で済む。（微妙に多いけど）
3万人で考えれば、3000の10人組があるので、全員に検査するよりは、平均で3*3000=9000回くらいは節約できそう。超単純計算だが(笑)

x％の人が感染者、ｎ人をまとめて検査するという方式を取ると、
期待値は（３００００/n)*((1-x/100)^n+n*(1-(1-n/100)^n))
必要な検査数が下図のように。横軸ｘ、縦期待値
数が小さいほど効果的なので、ある程度感染率が高くなったら3人単位でやるのが効果的な模様。



上の10%の仮定では、ある個人のエントロピーが約0.465。全員の感染の状態が独立と仮定すると、30000人の系のエントロピーが約4050。
ここから、検査の時のブレンドに制約が無ければ、約4000回の検査で10％の特定が出来そう。しかし、今回は制約付き。

ちなみに、10人の系ならば、エントロピーが４．６５なので、平均5回の検査で足りそう。ブレンドの上限の制約も確実にクリアできるので、検査数半分くらいになら出来そうだ。

記事を読んでの思いつきで、情報理論の知識に乏しいので、ここら辺でとりあえず限界。
具体的に、どうやって検査をデザインすればいいのか（多分coding的な話）、10人の検査の制限をどう考慮すればいいのか、そもそも検査が正確じゃない場合、感染の様態が独立でない場合、あるいは検査の正確性が異なる場合はどうなるかなど。